Question

已知f（x）=cos2x+4sinx．
（Ⅰ）求f′（-

π

4

）的值；
（Ⅱ）求f（x）的最大值以及取得最大值時(shí)x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求f′（-

π

4

）的值；
（Ⅱ）利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求f（x）的最大值以及取得最大值時(shí)x的值．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=-2sin2x+4cosx，
則f′（-

π

4

）=-2sin（-

π

2

）+4cos（-

π

4

）=2+4×

2

2

=2+2

2

；
（Ⅱ）f（x）=1-2sin²x+4sinx=-2（sinx-1）²+3，
因?yàn)閟inx∈[-1，1]，所以當(dāng)sinx=1即x=

π

2

+2kπ，k∈Z時(shí)，f（x）取最大值3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．