Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側面為正方形，側面為菱形，，平面平面.

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）證明出平面，然后以點為坐標原點，分別以，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，設正方形的邊長為，利用空間向量法可計算出直線與平面所成角的正弦值；

（2）計算出平面的一個法向量，以及平面的一個法向量，利用空間向量法可計算出二面角的余弦值.

（1）因為四邊形為正方形，所以，

因為平面平面，平面平面，

平面，所以平面.

以點為坐標原點，分別以，所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

不妨設正方形的邊長為，則，.

在菱形中，因為，所以，所以.

因為平面的法向量為，

設直線與平面所成角為，則，，

即直線與平面所成角的正弦值為；

（2）由（1）可知，，所以.

設平面的一個法向量為，

因為即

取，，，即.

設平面的一個法向量為，因為，，

因為，所以，取.

設二面角的平面角為，

則，

所以二面角的余弦值為.