Question

11．已知命題p：“$\frac{x^2}{2m-1}+\frac{y^2}{2-m}=1$是橢圓的標準方程”，命題q：“$\frac{x^2}{m-1}+\frac{y^2}{m-3}=1$是雙曲線的標準方程”．且p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 可以看出命題p為真命題時，m滿足$\left\{\begin{array}{l}{2m-1＞0}\\{2-m＞0}\\{2m-1≠2-m}\end{array}\right.$，從而可以得到命題p：$\frac{1}{2}＜m＜2，且m≠1$，同樣可以得到命題q：1＜m＜3，而根據(jù)p∨q為真，p∧q為假便知p，q一真一假，從而分別求出p真q假，和p假q真時m的范圍再求并集便可得出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：命題p為真命題時，則：$\left\{\begin{array}{l}{2m-1＞0}\\{2-m＞0}\\{2m-1≠2-m}\end{array}\right.$；
解得$\frac{1}{2}＜m＜2$，且m≠1；
即p：$\frac{1}{2}＜m＜2$，且m≠1；
命題q為真命題時，則：（m-1）（m-3）＜0；
∴1＜m＜3；
即q：1＜m＜3
∵p∨q為真，p∧q為假；
∴p，q一真一假；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}＜m＜2，且m≠1}\\{m≤1，或m≥3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m≤\frac{1}{2}，或m≥2，或m=1}\\{1＜m＜3}\end{array}\right.$；
∴$\frac{1}{2}＜m＜1$，或2≤m＜3；
∴實數(shù)m的取值范圍為$（\frac{1}{2}，1）∪[2，3）$．

點評 考查橢圓和雙曲線的標準方程，真命題、假命題的概念，以及p∨q，p∧q的真假和p，q真假的關(guān)系．