Question

7．如圖，已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且過點(diǎn)P（0，1）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程； 
（Ⅱ）過點(diǎn)（1，-1）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N（均異于點(diǎn)P）．問直線PM與PN的斜率之和是否是定值，若是，求出這個定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過橢圓的離心率，端點(diǎn)值，以及橢圓的幾何量法關(guān)系，求解a，b，即可求解橢圓C的方程； 
（Ⅱ）（1°）當(dāng)直線l垂直于x軸時，解得M，N，求解直線PM與PN的斜率之和．
（2°）當(dāng)直線l不垂直于x軸時，設(shè)直線l的斜率為k，寫出直線l的方程為y+1=k（x-1），與橢圓C聯(lián)立，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化求解直線PM與PN的斜率之和化簡求解即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，b=1$，又a²=b²+c²
所以$a=\sqrt{2}，b=1$
所以橢圓C的方程是$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$（4分）
證明（Ⅱ）（1°）當(dāng)直線l垂直于x軸時，解得$M（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}），N（1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
所以直線PM與PN的斜率之和為$\frac{{1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{0-1}+\frac{{1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{0-1}=-2$（6分）
（2°）當(dāng)直線l不垂直于x軸時，設(shè)直線l的斜率為k
由題直線l的方程為y+1=k（x-1），與橢圓C：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$聯(lián)立
得（2k²+1）x²-4k（k+1）x+2k（k+2）=0（*）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=\frac{4k（k+1）}{{2{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{2k（k+2）}{{2{k^2}+1}}$（8分）
所以直線PM與PN的斜率之和為$\frac{{{y_1}-1}}{x_1}+\frac{{{y_2}-1}}{x_2}=\frac{{k（{x_1}-1）-2}}{x_1}+\frac{{k（{x_2}-1）-2}}{x_2}$=$2k-（k+2）（\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}）$=$2k-（k+2）\frac{4k（k+1）}{2k（k+2）}=-2$（11分）
此時方程（*）亦滿足△＞0
綜上，直線PM與PN的斜率之和為定值-2（12分）

點(diǎn)評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．考查計算能力．