Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn)．
（1）求證：EF⊥CD；
（2）設(shè)PD=AD=a，求三棱錐B-EFC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：計(jì)算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）可證PD⊥平面ABCD，而后CD⊥平面PAD，則CD⊥PA．從而證明EF⊥CD．（2）三棱錐B-EFC的體積等于三棱錐F-EBC的體積．

解答： （1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD⊥CD．又∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥CD，且AD∩PD=D．
∴CD⊥平面PAD，又∵PA?平面PAD，
∴CD⊥PA．又∵EF∥PA，
∴EF⊥CD． 
（2）解：連接AC，DB相交于O，連接OF，
則OF⊥面ABCD，
∴VB-EFC=VF-EBC=

1

3

S△EBC•OF=

1

3

•

1

2

•a•

a

2

•

a

2

=

1

24

a2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生的空間想象力，線面垂直的判定定理及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．