Question

9．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若$\frac{1}{a}$，$\frac{1}$，$\frac{1}{c}$成等差數(shù)列，則cosB+sinB的取值范圍為（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及余弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式利用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，求出B的取值范圍，結(jié)合輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．

解答 解：$\frac{1}{a}$，$\frac{1}$，$\frac{1}{c}$成等差數(shù)列，
∴$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{2}{c}$，即b=$\frac{2ac}{a+c}$，
cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-（\frac{2ac}{a+c}）^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{c}{a}$+$\frac{c}{a}$）-$\frac{2ac}{（a+c）^{2}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{c}{a}$+$\frac{c}{a}$）-$\frac{2}{（\frac{a}{c}+\frac{c}{a}）+2}$，
令t=$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$，t≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)成立，
∴cosB=$\frac{1}{2}$t-$\frac{2}{t+2}$，t∈[2，+∞），
令y=$\frac{1}{2}$t-$\frac{2}{t+2}$，t∈[2，+∞），
y′=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{（t+2）^{2}}$＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴ymin=$\frac{1}{2}$×2-$\frac{2}{2+2}$=$\frac{1}{2}$，
∴cosB≥$\frac{1}{2}$，
∴0＜B≤$\frac{π}{3}$，
cosB+sinB=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∴$\frac{π}{4}$＜x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{7π}{12}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（x+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴1＜cosB+sinB≤$\sqrt{2}$，
故答案為：（1，$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求解，根據(jù)等差數(shù)列以及余弦定理，基本不等式的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性以及三角函數(shù)的輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．