Question

14．如圖，一簡(jiǎn)單幾何體ABCDE的一個(gè)面ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，且DC⊥平面ABC．若AC=BC=BE=2，
（1）BE邊上是否存在一點(diǎn)M，使得AD和CM的夾角為60°？
（2）求銳二面角O-CE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以CB為x軸，CB為y軸，CD為z軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直線之間的夾角轉(zhuǎn)化為向量之間的夾角進(jìn)行求解即可．
（2）設(shè)平面BCE的法向量$\overrightarrow{m}$，平面OCE的法向量$\overrightarrow{n}$．二面角O-CE-B是銳二面角，記為θ，利用空間向量的數(shù)量積求解cosθ即可．

解答 解：（1）以CB為x軸，CA為y軸，CD為z軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
∵AC=BC=BE=2，∴CD=BE=2，
則C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），O（1，1，0），E（2，0，2）
D（0，0，2），
設(shè)M（2，0，t），（0≤t≤2），
則$\overrightarrow{AD}$=（0，-2，2），$\overrightarrow{CM}$=（2，0，t），
若AD和CM的夾角為60°，
|cos＜$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{CM}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CM}}{|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{CM}|}$|=|$\frac{2t}{\sqrt{4+4}•\sqrt{4+{t}^{2}}}$|=|$\frac{t}{\sqrt{2}•\sqrt{4+{t}^{2}}}$|=cos60$°=\frac{1}{2}$，
平方得t²=4，得t=2，
即M（2，0，2），即M位于E處時(shí)，AD和CM的夾角為60°．
（2）設(shè)平面OCE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x₀．y₀．z₀）．則平面BCE的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
$\overrightarrow{CE}$=（2，0，2），$\overrightarrow{CO}$=（1，1，0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{CO}=0\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}2{x}_{0}+2{z}_{0}=0\\{x}_{0}+{y}_{0}=0\end{array}\right.$，
令x₀=-1，∴$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1）．
∵二面角O-CE-B是銳二面角，記為θ，則
cosθ=|cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$|=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{m}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間角的計(jì)算，根據(jù)異面直線所成角轉(zhuǎn)化為向量之間的夾角以及求出平面的法向量利用向量法求二面角是解決本題的關(guān)鍵．注意向量法的應(yīng)用．