1.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=2,AC=6,D為AC邊上的中點(diǎn),E為BC邊上一點(diǎn),且$\overrightarrow{BE}$=$λ\overrightarrow{BC}$(0<λ<1).
(1)當(dāng)$λ=\frac{1}{2}$時(shí),若$\overrightarrow{AE}$=x$\overrightarrow{BD}$+y$\overrightarrow{AC}$,求x,y的值;
(2)當(dāng)AE⊥BD時(shí),求λ的值.

分析 (1)建立平面直角坐標(biāo)系,表示出向量$\overrightarrow{BD}$、$\overrightarrow{AC}$和$\overrightarrow{AE}$,利用平面向量的坐標(biāo)表示和向量相等列出方程組,即可求出x和y的值;
(2)設(shè)出點(diǎn)E(x,y),利用AE⊥BD時(shí)$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=0,和$\overrightarrow{BE}$與$\overrightarrow{BC}$共線,列出方程組,解方程組求出點(diǎn)E的坐標(biāo),即可求出λ的值.

解答 解:(1)建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示;
則A(0,0),B(0,2),C(6,0),D(3,0),
當(dāng)$λ=\frac{1}{2}$時(shí),$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$,E是BC的中點(diǎn),
所以E(3,1),$\overrightarrow{BD}$=(3,-2),$\overrightarrow{AC}$=(6,0),$\overrightarrow{AE}$=(3,1);
又$\overrightarrow{AE}$=x$\overrightarrow{BD}$+y$\overrightarrow{AC}$,
所以(3,1)=x(3,-2)+y(6,0)=(3x+6y,-2x),
即$\left\{\begin{array}{l}{3x+6y=3}\\{-2x=1}\end{array}\right.$,
解得x=-$\frac{1}{2}$,y=$\frac{3}{4}$;
(2)設(shè)點(diǎn)E(x,y),則$\overrightarrow{AE}$=(x,y);
當(dāng)AE⊥BD時(shí),$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=0,
即3x-2y=0①;
又$\overrightarrow{BE}$=(x,y-2),
$\overrightarrow{BC}$=(6,-2),且$\overrightarrow{BE}$與$\overrightarrow{BC}$共線,
所以-2x-6(y-2)=0②;
由①②組成方程組,解得x=$\frac{12}{11}$,y=$\frac{18}{11}$;
所以$\overrightarrow{BE}$=($\frac{12}{11}$,-$\frac{4}{11}$),
所以$\overrightarrow{BE}$=$\frac{2}{11}$$\overrightarrow{BC}$,
即λ的值為$\frac{2}{11}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的應(yīng)用問(wèn)題,也考查了用向量法解答三角形的有關(guān)問(wèn)題,是綜合性題目.

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(2)證明:無(wú)論點(diǎn)E在邊BC的何處,都有PE⊥AF.

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