Question

已知實數(shù)x滿足不等式2（log 

1

2

x）²+7log 

1

2

x+3≤0
（1）求x的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)f（x）=（log₂

x

4

）•（log₂

x

2

）的最大值和最小值．

Answer 1

考點：對數(shù)的運算性質(zhì),指、對數(shù)不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由不等式2（log 

1

2

x）²+7log 

1

2

x+3≤0，化為(2log

1

2

x+1)(log

1

2

x+3)≤0，利用一元二次不等式的解法和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）函數(shù)f（x）=（log₂

x

4

）•（log₂

x

2

）=（log₂x-2）（log₂x-1）=(log2x-

3

2

)2-

5

4

，由

2

≤x≤8，可得

1

2

≤log2x≤3．再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）∵不等式2（log 

1

2

x）²+7log 

1

2

x+3≤0，
∴(2log

1

2

x+1)(log

1

2

x+3)≤0，
解得-3≤log

1

2

x≤-

1

2

，
∴(

1

2

)-

1

2

≤x≤(

1

2

)-3，
解得

2

≤x≤8．
∴x的取值范圍是

2

≤x≤8．
（2）函數(shù)f（x）=（log₂

x

4

）•（log₂

x

2

）=（log₂x-2）（log₂x-1）
=(log2x)2-3log2x+2
=(log2x-

3

2

)2-

5

4

，
∵

2

≤x≤8，
∴

1

2

≤log2x≤3．
∴當log₂x=

3

2

時，函數(shù)f（x）取得最小值-

5

4

．
而當x=

2

時，f(

2

)=-

1

4

；而當x=8時，f（8）=2．
∴當x=8時，函數(shù)f（x）取得最大值2．

點評：本題考查了一元二次不等式的解法、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．