Question

設函數f（x）=ax-lnx，g（x）=e^x-ax，其中a為正實數．
（l）若x=0是函數g（x）的極值點，討論函數f（x）的單調性；
（2）若f（x）在（1，+∞）上無最小值，且g（x）在（1，+∞）上是單調增函數，求a的取值范圍；并由此判斷曲線g（x）與曲線y=

1

2

ax²-ax在（1，+∞）交點個數．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（1）求出g（x）的導數，令它為0，求出a=1，再求f（x）的導數，令它大于0或小于0，即可得到單調區(qū)間；
（2）求出f（x）的導數，討論a的范圍，由條件得到a≥1，再由g（x）的導數不小于0在（1，+∞）上恒成立，求出a≤e，令g(x)=

1

2

ax2-ax即a=

2ex

x2

，令h（x）=

2ex

x2

，求出導數，求出單調區(qū)間，判斷極值與e的大小即可．

解答： 解：（1）由g′（x）=e^x-a，
g′（0）=1-a=0得a=1，f（x）=x-lnx
∵f（x）的定義域為：（0，+∞），f′(x)=1-

1

x

，
∴函數f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）．
（2）由f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

若0＜a＜1則f（x）在（1，+∞）上有最小值f（

1

a

），
當a≥1時，f（x）在（1，+∞）單調遞增無最小值．
∵g（x）在（1，+∞）上是單調增函數
∴g'（x）=e^x-a≥0在（1，+∞）上恒成立
∴a≤e，
綜上所述a的取值范圍為[1，e]，
此時g(x)=

1

2

ax2-ax即a=

2ex

x2

，令h（x）=

2ex

x2

，h′（x）=

2ex(x-2)

x3

，
則 h（x）在（0，2）單調遞減，（2，+∞）單調遞增，
極小值為h(2)=

e2

2

＞e．故兩曲線沒有公共點．

點評：本題考查導數的綜合應用：求單調區(qū)間，求極值和最值，考查分類討論的思想方法，曲線與曲線交點個數轉化為函數極值或最值問題，屬于中檔題．