Question

已知函數(shù)f（

x+1

x

）=x⁴+

1

x4

，x∈R，則函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：數(shù)形結(jié)合法,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先求出f（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)f（x）的特征，畫出函數(shù)圖象，根據(jù)求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．

解答： 解：設(shè)

x+1

x

=t（t≠1），則x=

1

t-1

；
∴f（t）=(

1

t-1

)4+（t-1）⁴（t≠1），
即f（x）=

1

(x-1)4

+（x-1）⁴（x≠1）；
∵f（x）=

1

(x-1)4

+（x-1）⁴≥2

1 (x-1)4 •(x-1)4

=2（x≠1），
當(dāng)x=2或0時(shí)，“=”成立，
∴f（x）在x=0或2時(shí)取得最小值2，且圖象關(guān)于x=1對(duì)稱；畫出函數(shù)圖象，如圖所示；
∴根據(jù)函數(shù)的圖象得出，f（x）的遞減區(qū)間是（-∞，0]和（1，2]．
故答案為：（-∞，0]和（1，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的解析式以及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的問題，根據(jù)函數(shù)的解析式畫出函數(shù)圖象，是解題的關(guān)鍵，是中檔題．