Question

已知向量

a

=（a_n+1，1），

b

=（1，-a_n），

a

•

b

=2，設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S₄、S₆、S₉成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求a_n與S_n；
（Ⅱ）若b_n=

Sn+156

an+1

，求數(shù)列{b_n}中的最小項及取得最小項時n的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,平面向量及應用

分析：（I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式即可得出；
（II）利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

•

b

=2，∴a_n+1-a_n=2，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
∴Sn=na1+

n(n-1)

2

×2=na1+n2-n，
S₄=4a₁+12，S₆=6a₁+30，S₉=9a₁+72．
∵S₄、S₆、S₉成等比數(shù)列，
∴(6a1+30)2=(4a1+12)(9a1+72)
解得a₁=1．
∴a_n=2n-1，Sn=n2．
（Ⅱ）由題意bn=

n2+156

2n

=

1

2

(n+

156

n

)，n∈N^*．
令f(x)=

1

2

(x+

156

x

)≥

1

2

•2

x• 156 x

，當且僅當x=

156

x

時取等號．
當n=12時，b12=

1

2

(12+

156

12

)=

25

2

當n=13時，b13=

1

2

(13+

156

13

)=

25

2

．
∴n=12或n=13時，數(shù)列{b_n}的最小項是

25

2

．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式、基本不等式的性質(zhì)等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．