已知函數(shù)f（x）=x（x-a）2，g（x）=-x2+（a-1）x+a（其中a為常數(shù)）．
（Ⅰ）如果函數(shù)y=f（x）和y=g（x）有相同的極值點(diǎn)，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，+∞），f（x）≥（a2+a+3）x恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）記函數(shù)H（x）=[f（x）-1]•[g（x）-1]，若函數(shù)y=H（x）有5個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=（3x-a）（x-a），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a=3或a=-1．
（Ⅱ）由已知得x（x-a）2≥（a2+a+3）x在（0，+∞）上恒成立，從而x2-2ax-（a+3）≥0在（0，+∞）上恒成立，由此能求出a的取值范圍．
（Ⅲ）由題意得f（x）-1=0有3個(gè)不同的實(shí)根，g（x）-1=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，且這兩個(gè)實(shí)根兩兩不等，由此分類討論，能求出當(dāng)a＞
3
32
2
時(shí)，函數(shù)y=H（x）有5個(gè)不同的零點(diǎn)．
解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=（3x-a）（x-a），
令f′（x）=0，解得：x=a或x=
a
3

而g（x）在x=
a-1
2
處有極大值，
∴
a-1
2
=a，解得a=-1，或
a-1
2
=
a
3
，解得a=3，
綜上a=3或a=-1．
（Ⅱ）由已知得x（x-a）2≥（a2+a+3）x在（0，+∞）上恒成立，
∴x2-2ax-（a+3）≥0在（0，+∞）上恒成立，
令h（x）=x2-2ax-（a+3），
∵△=4(a+
1
2
)2+11＞0，
∴
a＜0
h(0)≥0
，
解得a≤-3，∴a的取值范圍是（-∞，-3]．
（Ⅲ）由題意得f（x）-1=0有3個(gè)不同的實(shí)根，
g（x）-1=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，
且這兩個(gè)實(shí)根兩兩不等，
①g（x）-1=0有2個(gè)不同實(shí)根，
只需滿足g（
a-1
2
）＞1，解得a＞1或a＜-3．
②f（x）-1=0有3個(gè)不同的實(shí)根，
（i）當(dāng)
a
3
＞a，即a＜0時(shí)，f（x）在（-∞，a）上為增函數(shù)，在（a，
a
3
）上為減函數(shù)，
在（
a
3
，+∞）上為增函數(shù)，在x=a處取得極大值，
而f（a）=0，不合題意，舍；
（ii）當(dāng)
a
3
=a，即a=0時(shí)，不合題意，舍；
（iii）當(dāng)
a
3
＜a，即a＞0時(shí)，
f（x）在（-∞，
a
3
）上為增函數(shù)，在（
a
3
，a）上為減函數(shù)，
在（a，+∞）上為增函數(shù)，
f（x）在x=
a
3
處取得極大值，f（
a
3
）＞1，解得a＞
3
32
2
，∴a＞
3
32
2
．
∵①②要同時(shí)滿足，故a＞
3
32
2
．
下面證明這5個(gè)根兩兩不相等，
即證：不存在x0，使得f（x0）-1=0和g（x0）-1=0同時(shí)成立．
若存在x0，使得f（x0）=g（x0）=1，
由f（x0）=g（x0），即x0(x0-a)2=-x02+(a-1)x0+a，
得(x0-a)(x02-ax0+x0+1)=0，
當(dāng)x0≠a時(shí)，f（x0）=g（x0）=0，不符合，舍去；
當(dāng)x0≠a時(shí)，即有x02-ax0+x0+1=0，②
聯(lián)立①②式，得a=0；
而當(dāng)a=0時(shí)，H（x）=[f（x）-1]•[g（x）-1]=（x3-1）（-x2-x-1）=0無(wú)5個(gè)不同的零點(diǎn)，舍．
∴這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等．
綜上所述，當(dāng)a＞
3
32
2
時(shí)，函數(shù)y=H（x）有5個(gè)不同的零點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問(wèn)題．重點(diǎn)考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知某個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸，這個(gè)幾何體的體積是（　　）
A、（
3
12
+1）π
B、（
3
3
+1）π
C、（
3
6
+1）π
D、（
3
3
+2）π

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的k的值是（　　）
A、12B、13C、14D、15

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
4
+
y2
b2
=1（0＜b＜2）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P，Q是橢圓C上的兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若橢圓C過(guò)點(diǎn)（-
2
，1），求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若以P，F(xiàn)1，Q，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，求b2的值；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若直線PQ過(guò)F1，且|PF1|=2|QF1|，求|PQ|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a+b=5，c=
7
，C=
x
3
．
（1）求a，b；
（2）求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知集合A={x|x2+2﹙a+1﹚x+a2-1=0}，B={x|x2+4x=0}．A∩B=A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某耐磨廠對(duì)一批耐磨球的單個(gè)重量（單位：克）進(jìn)行了抽樣檢測(cè)，并繪制出頻率分布直方圖，已知耐磨球單個(gè)重量的范圍為[96，106]，樣本數(shù)據(jù)分組為[96，98），[98，100），[100，104），[104，106）
（1）求圖中x的值；
（2）已知這批耐磨球共有5000個(gè)，試估計(jì)這批耐磨球中單個(gè)重量小于100克的球的個(gè)數(shù)；
（3）現(xiàn)從第一組到第五組（從左到右依次為第一組、第二組、…、第五組）中各取一求放入盒中充分?jǐn)嚢�，然后隨機(jī)選出兩球進(jìn)行配對(duì)，若選出的兩球所在的組數(shù)相鄰，則稱這兩球?yàn)椤版⒚们颉�，試求選出的兩球?yàn)闉椤版⒚们颉钡母怕剩?/div>

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

畫出函數(shù)y=
x-1
x+1
的圖象．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-ax2+2（a∈R），f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若對(duì)一切的實(shí)數(shù)x，有f′（x）≥|x|-
3
4
成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a=0時(shí)，在曲線y=f（x）上是否存在兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），使得曲線在A，B兩點(diǎn)處的切線均與直線x=2交于同一點(diǎn)？若存在，求出交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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