Question

2．動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F（1，0）的距離與它到定直線l：x=4的距離之比為$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ） 求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ） 已知定點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），動(dòng)點(diǎn)Q（4，t）在直線l上，作直線AQ與軌跡C的另一個(gè)交點(diǎn)為M，作直線BQ與軌跡C的另一個(gè)交點(diǎn)為N，證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F（1，0）的距離與它到定直線l：x=4的距離之比為$\frac{1}{2}$，列出方程化簡(jiǎn)并整理，即可得到動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡C的方程．
（Ⅱ）當(dāng)t=0時(shí)，說明M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，當(dāng)t≠0時(shí)得到$QA：y=\frac{t}{6}（x+2），QB：y=\frac{t}{2}（x-2）$，分別與橢圓聯(lián)立方程組求解M、N的橫坐標(biāo)，通過共線的充要條件，證明即可．

解答 （本小題共14分）
解：（Ⅰ）由題意動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F（1，0）的距離與它到定直線l：x=4的距離之比為$\frac{1}{2}$，
得$\frac{{\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}}}{|x-4|}=\frac{1}{2}$，…（2分）
化簡(jiǎn)并整理，得 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
所以動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡C的方程為橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（5分）
（Ⅱ）當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)M與B重合，點(diǎn)N與A重合，M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線．…（7分）
當(dāng)t≠0時(shí)
根據(jù)題意：$QA：y=\frac{t}{6}（x+2），QB：y=\frac{t}{2}（x-2）$
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=\frac{t}{6}（{x+2}）\end{array}\right.$
消元得：$3{x^2}+\frac{t^2}{9}{（x+2）^2}-12=0$
整理得：（t²+27）x²+4t²x+4t²-108=0
該方程有一根為x=-2，另一根為x_M，根據(jù)韋達(dá)定理，$-2{x_M}=\frac{{4{t^2}-108}}{{{t^2}+27}}，{x_M}=\frac{{54-2{t^2}}}{{{t^2}+27}}$
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=\frac{t}{2}（{x-2}）\end{array}\right.$
消元得：3x²+t²（x-2）²-12=0
整理得：（t²+3）x²-4t²x+4t²-12=0
該方程有一根為x=2，另一根為x_N，根據(jù)韋達(dá)定理，$2{x_N}=\frac{{4{t^2}-12}}{{{t^2}+3}}，{x_N}=\frac{{2{t^2}-6}}{{{t^2}+3}}$
當(dāng)x_M=x_N時(shí)，由$\frac{{54-2{t^2}}}{{{t^2}+27}}=\frac{{2{t^2}-6}}{{{t^2}+3}}$
得：t²=9，x_M=x_N=1，M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線；
當(dāng)x_M≠x_N時(shí)，${y_M}=\frac{t}{6}（{x_M}+2）=\frac{18t}{{{t^2}+27}}$，${y_N}=\frac{t}{2}（{x_N}-2）=\frac{-6t}{{{t^2}+3}}$${k_{MF}}=\frac{y_M}{{{x_M}-1}}=\frac{{\frac{18t}{{{t^2}+27}}}}{{\frac{{54-2{t^2}}}{{{t^2}+27}}-1}}=\frac{6t}{{9-{t^2}}}$；${k_{NF}}=\frac{y_N}{{{x_N}-1}}=\frac{{\frac{-6t}{{{t^2}+3}}}}{{\frac{{2{t^2}-6}}{{{t^2}+3}}-1}}=\frac{6t}{{9-{t^2}}}$k_MF=K_NF，M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線．
綜上，命題恒成立．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，三點(diǎn)共線的充要條件的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．