Question

18．已知函數(shù)f（x）=|x²-1|+x²+ax，（a＜-1，x＞-1）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，試判斷f（x₁x₂）與a+1的大小關(guān)系，并證明；
（3）己知實(shí)數(shù)m，n（-1＜m＜n≤1），對(duì)任意t₀∈（m，n），總存在兩個(gè)不同的t₁，t₂∈（1，+∞）使得f（t₀）-2=f（t₁）=f（t₂），求證：n-m≤$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)f（x）=|x²-1|+x²+ax=$\left\{\begin{array}{l}ax+1，-1＜x＜1\\ 2{x}^{2}+ax-1，x≥1\end{array}\right.$，對(duì)a進(jìn)行分析討論，可得不同情況下函數(shù)f（x）的最小值；
（2）則x₁x₂=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8}}{4a}$∈（-1，1），結(jié)合（1）可得f（x₁x₂）＞f（1）=a+1；
（3）根據(jù)（1）可得a≤-4，當(dāng)當(dāng)n-m取最大值時(shí)，f（n）=$-\frac{1}{8}$a²+1，f（m）=a+2，進(jìn)而證得結(jié)論．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=|x²-1|+x²+ax=$\left\{\begin{array}{l}ax+1，-1＜x＜1\\ 2{x}^{2}+ax-1，x≥1\end{array}\right.$，
當(dāng)-4＜a＜-1時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值a+1；
當(dāng)a≤-4時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，a）上遞減，在（a，+∞）上遞增，故當(dāng)x=-$\frac{a}{4}$時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值$-\frac{1}{8}$a²-1；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，不妨令x₁＜x₂，
則x₁=-$\frac{1}{a}$，x₂=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+8}}{4}$，
故x₁x₂=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8}}{4a}$∈（-1，1），
故f（x₁x₂）＞f（1）=a+1，
（3）若對(duì)任意t₀∈（m，n），總存在兩個(gè)不同的t₁，t₂∈（1，+∞）使得f（t₀）-2=f（t₁）=f（t₂），
則a≤-4，f（t₀）-2=f（t₁）=f（t₂）∈（$-\frac{1}{8}$a²-1，a+1），
則f（t₀）∈（$-\frac{1}{8}$a²+1，a+2），
故當(dāng)n-m取最大值時(shí)，f（n）=$-\frac{1}{8}$a²+1，f（m）=a+2，
即an+1=$-\frac{1}{8}$a²+1，am+1=a+2，
解得：n=$-\frac{1}{8}$a，m=$\frac{a+1}{a}$，
則n-m=$-\frac{1}{8}$a-$\frac{a+1}{a}$=$-\frac{1}{8}$a-$\frac{1}{a}$-1=$\frac{-{a}^{2}-8a-8}{8a}$，
令t=$\frac{-{a}^{2}-8a-8}{8a}$，則t′=$\frac{-{a}^{2}+8}{8{a}^{2}}$＜0在a≤-4時(shí)，恒成立，
故當(dāng)a=-4時(shí)，n-m取最大值-$\frac{1}{4}$，
即n-m≤$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想，函數(shù)的零點(diǎn)，本題轉(zhuǎn)化復(fù)雜，運(yùn)算量大，屬于難題．