Question

9．給出下列關于橢圓的真命題，試類比推理給出雙曲線中類似的命題，并畫出命題中的圖．
（1）橢圓中以焦半徑為直徑的圓與長軸為直徑的圓相切（此圓與橢圓內切）；
（2）橢圓互相垂直的焦點弦倒數(shù)之和為常數(shù)$\frac{1}{|AB|}$+$\frac{1}{|CD|}$=$\frac{2-{e}^{2}}{2ep}$；
（3）設橢圓焦點弦AB的中垂線交長軸于點D，則|DF|與|AB|之比為離心率的一半（F為焦點）．

Answer 1

分析 由題目給出的橢圓的幾何性質，類比得到雙曲線的幾何性質，并作出圖形得答案．

解答 解：（1）類比推理為：以雙曲線的一條焦半徑為直徑的圓與以實軸為直徑的圓內切或外切．

（2）類比推理為：雙曲線互相垂直的焦點弦倒數(shù)之和為常數(shù)$\frac{1}{|AB|}$+$\frac{1}{|CD|}$=$\frac{|2-{e}^{2}|}{2ep}$．

（3）設雙曲線焦點弦AB的中垂線交實軸于點D，則|DF|與|AB|之比為離心率的一半（F為焦點）．

點評 本題考查橢圓和雙曲線的簡單性質，考查了類比推理，訓練了作圖能力，是中檔題．