8.已知曲線y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)上的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為($\frac{π}{2}$,$\sqrt{2}$),由此點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)間的曲線與x軸交于點(diǎn)($\frac{3}{2}$π,0),φ∈(-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$).
(1)求這條曲線的函數(shù)解析式;
(2)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

分析 (1)由函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的部分圖象求解析式,由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A,由周期求出ω,由特殊點(diǎn)求出φ的值,可得函數(shù)的解析式.
(2)由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性,求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

解答 解:(1)由題意可得A=$\sqrt{2}$,$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{3π}{2}$-$\frac{π}{2}$,求得ω=$\frac{1}{2}$.
再根據(jù)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為($\frac{π}{2}$,$\sqrt{2}$),可得$\sqrt{2}$sin($\frac{1}{2}$×$\frac{π}{2}$+φ)=$\sqrt{2}$,即sin($\frac{1}{2}$×$\frac{π}{2}$+φ)=1 ①.
再根據(jù)由此最高點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)間的曲線與x軸交于點(diǎn)($\frac{3}{2}$π,0),可得得$\sqrt{2}$sin($\frac{1}{2}$×$\frac{3π}{2}$+φ)=0,即sin($\frac{3π}{4}$+φ)=0 ②,
由①②求得φ=$\frac{π}{4}$,故曲線的解析式為y=$\sqrt{2}$sin($\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$).
(2)對(duì)于函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin($\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$),令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,求得4kπ-$\frac{3π}{2}$≤x≤4kπ+$\frac{π}{2}$,
可得函數(shù)的增區(qū)間為[4kπ-$\frac{3π}{2}$,4kπ+$\frac{π}{2}$],k∈Z.
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$,求得4kπ+$\frac{π}{2}$≤x≤4kπ+$\frac{5π}{2}$,
可得函數(shù)的減區(qū)間為[4kπ+$\frac{π}{2}$,4kπ+$\frac{5π}{2}$],k∈Z.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的部分圖象求解析式,由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A,由周期求出ω,由特殊點(diǎn)求出φ的值,正弦函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.

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