Question

8．已知曲線y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）上的一個最高點的坐標為（$\frac{π}{2}$，$\sqrt{2}$），由此點到相鄰最低點間的曲線與x軸交于點（$\frac{3}{2}$π，0），φ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
（1）求這條曲線的函數解析式；
（2）寫出函數的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由特殊點求出φ的值，可得函數的解析式．
（2）由條件利用正弦函數的單調性，求得函數的單調區(qū)間．

解答 解：（1）由題意可得A=$\sqrt{2}$，$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{3π}{2}$-$\frac{π}{2}$，求得ω=$\frac{1}{2}$．
再根據最高點的坐標為（$\frac{π}{2}$，$\sqrt{2}$），可得$\sqrt{2}$sin（$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{2}$+φ）=$\sqrt{2}$，即sin（$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{2}$+φ）=1 ①．
再根據由此最高點到相鄰最低點間的曲線與x軸交于點（$\frac{3}{2}$π，0），可得得$\sqrt{2}$sin（$\frac{1}{2}$×$\frac{3π}{2}$+φ）=0，即sin（$\frac{3π}{4}$+φ）=0 ②，
由①②求得φ=$\frac{π}{4}$，故曲線的解析式為y=$\sqrt{2}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）．
（2）對于函數y=$\sqrt{2}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得4kπ-$\frac{3π}{2}$≤x≤4kπ+$\frac{π}{2}$，
可得函數的增區(qū)間為[4kπ-$\frac{3π}{2}$，4kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得4kπ+$\frac{π}{2}$≤x≤4kπ+$\frac{5π}{2}$，
可得函數的減區(qū)間為[4kπ+$\frac{π}{2}$，4kπ+$\frac{5π}{2}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由特殊點求出φ的值，正弦函數的單調性，屬于中檔題．