Question

已知橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)P在橢圓上，若P、F₁、F₂、是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則P到x軸的距離為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)P（x，y），表示出點(diǎn)P到x軸的距離為|y|，由哪一個(gè)角是直角來(lái)分類討論，在第一類中直接令x=±4得結(jié)果，在第二類中要列出方程組，再用等面積法求|y|．

解答：解：設(shè)點(diǎn)P（x，y），則到x軸的距離為|y|
由于a=5，b=3，∴c=4，
（1）若∠PF₁F₂=90°或∠PF₂F₁=90°，
令x=±4得y²=9 （1-

16

25

）=

81

25

，
∴|y|=

9

5

，即P到x軸的距離為

9

5

．
（2）若∠F₁PF₂=90°，則

|PF1|+|PF2|=10 |PF12+|PF22=82

，
∴|PF₁||PF₂|=

1

2

（10²-8²）=18，
∵

1

2

|PF₁||PF₂|=

1

2

|F₁F₂||y|，
∴|y|=

9

4

，
由（1）（2）知：P到x軸的距離為

9

5

或，
故答案為

9

5

或

9

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的性質(zhì)，在誰(shuí)為直角的情況下，用到分類討論，在計(jì)算過(guò)程中，用勾股定理和橢圓的定義得出方程組，用完全平方各得出兩個(gè)求和數(shù)的乘積，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算量，等面積法用到比較特殊的圖形中．