Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-alnx+（a-1）x，a∈R
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）圖象在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當a＜0時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）是否存在實數(shù)a，對任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,存在型,分類討論,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出a=1時函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出切點和切線的斜率，由點斜式方程，即可得到切線方程；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)a的不同取值對函數(shù)定義域分段，由函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷原函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的單調(diào)性；
（3）假設(shè)存在實數(shù)a使得對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，假設(shè)0＜x₁＜x₂，則f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁恒成立，構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=f（x）-ax，只要使函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)即可，利用其導(dǎo)函數(shù)恒大于等于0可求解a的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

1

2

x²-alnx+（a-1）x，
f′（x）=x-

a

x

+（a-1）=

(x-1)(x+a)

x

（x＞0）
當a=1時，f′（x）=

(x-1)(x+1)

x

，f′（1）=0，
則所求的切線方程為：y-f（1）=0（x-1），
即y=

1

2

；
（2）①當-a=1，即a=-1時，f′（x）=

(x-1)2

x

≥0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當-a＜1，即-1＜a＜0時，
由0＜x＜-a，或x＞1時，f′（x）＞0，-a＜x＜1時，f′（x）＜0．
則f（x）在（0，-a），（1，+∞）單調(diào)遞增，在（-a，1）上單調(diào)遞減；
③當-a＞1，即a＜-1時，
由0＜x＜1或x＞-a時，f′（x）＞0；1＜x＜-a時，f′（x）＜0，
f（x）在（0，1），（-a，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，-a）上單調(diào)遞減；
（3）假設(shè)存在這樣的實數(shù)a滿足條件，不妨設(shè)x₁＜x₂．
由

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a知f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁成立，
令g（x）=f（x）-ax=

1

2

x²-aln x-x，
則函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
則g′（x）=x-

a

x

-1≥0，
即a≤x²-x=（x-

1

2

）²-

1

4

在（0，+∞）上恒成立．，則a≤-

1

4

，
故存在這樣的實數(shù)a滿足題意，其范圍為（-∞，-

1

4

]．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了導(dǎo)數(shù)在最大值最小值中的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用構(gòu)造函數(shù)法求參數(shù)的取值范圍，屬難題．