Question

8．關(guān)于x的不等式|$|\begin{array}{l}{x+a}&{2}\\{1}&{x}\end{array}|$＜0的解集為（-1，b）．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）若z₁=a+bi，z₂=cosα+isinα，且z₁z₂為純虛數(shù)，求tanα的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：-1，b是方程x²+ax-2=0的兩個實數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．
（2）z₁z₂=（-cosα-2sinα）+（2cosα-sinα）i為純虛數(shù)，利用純虛數(shù)的定義即可得出．

解答 解：（1）不等式|$|\begin{array}{l}{x+a}&{2}\\{1}&{x}\end{array}|$＜0即x（x+a）-2＜0的解集為（-1，b）．
∴-1，b是方程x²+ax-2=0的兩個實數(shù)根，∴-1+b=-a，-b=-2，
解得a=-1，b=2．
（2）z₁z₂=（-1+2i）（cosα+isinα）=（-cosα-2sinα）+（2cosα-sinα）i為純虛數(shù)，
∴-cosα-2sinα=0，2cosα-sinα≠0，
解得tanα=-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、純虛數(shù)的定義、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．