Question

6．骨質(zhì)疏松癥被稱為“靜悄悄的流行病“，早期的骨質(zhì)疏松癥患者大多數(shù)無(wú)明顯的癥狀，針對(duì)中學(xué)校園的學(xué)生在運(yùn)動(dòng)中骨折事故頻發(fā)的現(xiàn)狀，教師認(rèn)為和學(xué)生喜歡喝碳酸飲料有關(guān)，為了驗(yàn)證猜想，學(xué)校組織了一個(gè)由學(xué)生構(gòu)成的興趣小組，聯(lián)合醫(yī)院檢驗(yàn)科，從高一年級(jí)中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué) （常喝碳酸飲料的同學(xué)30，不常喝碳酸飲料的同學(xué)20），對(duì)這50名同學(xué)進(jìn)行骨質(zhì)檢測(cè)，檢測(cè)情況如表：（單位：人）

	有骨質(zhì)疏松癥狀	無(wú)骨質(zhì)疏松癥狀	總計(jì)
常喝碳酸飲料的同學(xué)	22	8	30
不常喝碳酸飲料的同學(xué)	8	12	20
總計(jì)	30	20	50

（1）能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為骨質(zhì)疏松癥與喝碳酸飲料有關(guān)？
（2）現(xiàn)從常喝碳酸飲料且無(wú)骨質(zhì)疏松癥狀的8名同學(xué)中任意抽取兩人，對(duì)他們今后是否有骨質(zhì)疏松癥狀情況進(jìn)行全程跟蹤研究，記甲、乙兩同學(xué)被抽到的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．
附表及公式．

P（k2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

k²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算K²的值，即可得到結(jié)論；
（2）X可能取值為0，1，2，求出相應(yīng)的概率，可得X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．

解答 解：（1）由表中數(shù)據(jù)得K²的觀測(cè)值${K^2}=\frac{{50×{{（{22×12-8×8}）}^2}}}{30×20×30×20}=\frac{50}{9}≈5.556＞5.024$
所以根據(jù)統(tǒng)計(jì)有97.5%的把握認(rèn)為骨質(zhì)疏松癥與喝碳酸飲料有關(guān)有關(guān)．）（5分）
（2）由題可知從常喝碳酸飲料且無(wú)骨質(zhì)疏松癥狀的8名同學(xué)中任意抽取兩人，抽取方法有${C_8}^2=28$種，其中甲、乙兩人沒(méi)有一個(gè)人被抽到有${C_6}^2=15$種；恰有一人被抽到有${C_2}^1•{C_6}^1=12$種；兩人都被抽到有${C_2}^2=1$種 （7分）
∴X可能取值為0，1，2，
$P（X=0）=\frac{15}{28}$，$P（X=1）=\frac{12}{28}=\frac{3}{7}$，$P（X=2）=\frac{1}{28}$
X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{15}{28}$	$\frac{12}{28}$	$\frac{1}{28}$

X的分布列為：
∴$E（X）=0×\frac{15}{28}+1×\frac{12}{28}+2×\frac{1}{28}=\frac{1}{2}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，考查學(xué)生的閱讀與計(jì)算能力，屬于中檔題．