Question

已知f（x）（x∈R）對(duì)任意實(shí)數(shù)x₁，x₂都有f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）=2f（x₁）•f（x₂），求證：f（x）為偶函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令x₁=x，x₂=0，則有f（x）+f（x）=2f²（x），可求得f（x），再分根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)，即可證明．

解答： 證明：∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x₁，x₂都有f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）=2f（x₁）•f（x₂），
∴令x₁=x，x₂=0，則有f（x）+f（x）=2f²（x），
∴f（x）=0，或f（x）=1，
∴直線(xiàn)y=0與直線(xiàn)y=1分別關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用以及函數(shù)奇偶性的判斷．抽象函數(shù)給定恒等式時(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)所要求的表達(dá)式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)馁x值，以及利用函數(shù)圖象的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．