Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a^x滿足條件：當(dāng)x∈（-∞，0）時，f（x）＞1，當(dāng)x∈（0，1）時，不等式f（3mx-1）＞f（1+mx-x²）＞f（m+2）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由函數(shù)f（x）=a^x滿足條件：當(dāng)x∈（-∞，0）時，f（x）＞1可知f（x）=a^x在（0，1）上為減函數(shù)，然后把不等式f（3mx-1）＞f（1+mx-x²）＞f（m+2）恒成立轉(zhuǎn)化為

3mx-1＜1+mx-x2① 1+mx-x2＜m+2②

恒成立，分別由兩個不等式恒成立求出m的取值范圍后取交集得答案．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=a^x滿足條件：當(dāng)x∈（-∞，0）時，f（x）＞1，
∴函數(shù)f（x）=a^x在（0，1）上為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（0，1）時，不等式f（3mx-1）＞f（1+mx-x²）＞f（m+2）恒成立，
即

3mx-1＜1+mx-x2① 1+mx-x2＜m+2②

恒成立，
由①得：2mx+m²-2＜0對于x∈（0，1）恒成立，
即

m2-2＜0 2m+m2-2＜0

，解得：-

2

＜m＜

3

-1；
由②得：x²-mx+m+1＞0對于x∈（0，1）恒成立，
即（-m）²-4m-4＜0③，或

m 2 ≤0 m+1≥0

④，或

m 2 ≥1 1-m+m+1≥0

⑤，
解③得：2-2

2

＜m＜2+2

2

．
解④得：-1≤m≤0．
解⑤得：m≥2．
取并集得：m≥-1．
∴m的取值范圍是（-

2

，

3

-1）．

點評：本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了恒成立問題，訓(xùn)練了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．