Question

5．以下四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)為1個(gè)．
①tan[arcsin（cos$\frac{40π}{3}$）]=-$\sqrt{3}$；
②△ABC不是鈍角三角形，且有sin（A+B-C）=sin（A-B+C），則此三角形是直角三角形；
③若sinα+sin²α=1，則cos²α+cos⁴α+cos⁶α=$\frac{1}{2}$；
④若$\frac{sinα}{{m}^{2}-1}$=$\frac{cosα}{2msinβ}$=$\frac{1}{1+2mcosβ+{m}^{2}}$，則sinα=$\frac{{m}^{2}-1}{{m}^{2}+1}$．

Answer 1

分析 利用特殊角的三角函數(shù)值和反三角函數(shù)值，求出原式的值，可判斷①；
根據(jù)已知得到A+B-C=A-B+C，或（A+B-C）+（A-B+C）=π，進(jìn)而判斷三角形的形狀，可判斷②；
根據(jù)sinα+sin²α=1，結(jié)合cos²α+sin²α=1，及立方和公式，求出cos²α+cos⁴α+cos⁶α的值，可判斷③；
根據(jù)$\frac{sinα}{{m}^{2}-1}$=$\frac{cosα}{2msinβ}$=$\frac{1}{1+2mcosβ+{m}^{2}}$，結(jié)合sin²β+cos²β=1，求出sinα，可判斷④．

解答 解：①tan[arcsin（cos$\frac{40π}{3}$）]=tan[arcsin（-$\frac{1}{2}$）]=tan（-$\frac{π}{6}$）=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$≠-$\sqrt{3}$，故錯(cuò)誤；
②若sin（A+B-C）=sin（A-B+C），
則A+B-C=A-B+C，或（A+B-C）+（A-B+C）=π，
即B=C，或A=$\frac{π}{2}$
則此三角形是直角三角形或等腰三角形，故錯(cuò)誤；
③若sinα+sin²α=1，則sinα=cos²α，sinα=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
則cos²α+cos⁴α+cos⁶α=sinα+sin²α+sin³α=1+sin³α=（1+sinα）（1-sinα+sin²α）=（1+sinα）•2（1-sinα）=2（1-sin²α）=2cos²α=2sinα=$\sqrt{5}$-1≠$\frac{1}{2}$，故錯(cuò)誤；
④若$\frac{sinα}{{m}^{2}-1}$=$\frac{cosα}{2msinβ}$=$\frac{1}{1+2mcosβ+{m}^{2}}$，
則sinβ=$\frac{（{m}^{2}-1）cosα}{2msinα}$，cosβ=$\frac{（{m}^{2}-1）-（{m}^{2}+1）sinα}{2msinα}$，
由sin²β+cos²β=1得：$\frac{（{m}^{2}-1）^{2}co{s}^{2}α+[（{m}^{2}-1）-（{m}^{2}+1）sinα]^{2}}{4{m}^{2}{sin}^{2}α}$=1，
整理得：sinα=$\frac{{m}^{2}-1}{{m}^{2}+1}$，故正確．
綜上正確的命題個(gè)數(shù)為1個(gè)，
故答案為：1

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷為載體，考查了三角函數(shù)化簡(jiǎn)與求值，三角形形狀的判定，難度中檔．