Question

10．已知在△ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，tanC=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$，sin（B-A）=cosC．
（1）求A，B；
（2）若△ABC的面積S_△ABC=3+$\sqrt{3}$，求a，c．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將正切化為正余弦之比再相乘可得到3內(nèi)角的正弦關(guān)系式，再由sin（B-A）=cosC可求出答案．
（2）先根據(jù)正弦定理得到a與c的關(guān)系，再利用三角形的面積公式可得答案．

解答 解：（1）因?yàn)閠anC=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$，
所以左邊切化弦對(duì)角相乘得到
sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB，
所以sin（C-A）=sin（B-C）．
所以C-A=B-C或C-A=π-（B-C）（不成立）
即2C=A+B，C=60°，
所以A+B=120°，
又因?yàn)閟in（B-A）=cosC=$\frac{1}{2}$，
所以B-A=30°或B-A=150°（舍），
所以A=45°，C=60°．B=75°．
（2）由（1）知A=45°，C=60°，
∴B=75°，
∴sinB=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
根據(jù)正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，即：$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{c}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
∴a=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$c，
S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}{c}^{2}×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=3+\sqrt{3}$，
∴c²=12，
∴c=2$\sqrt{3}$，
∴a=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$c=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和正弦定理與三角形面積公式的應(yīng)用．對(duì)于三角函數(shù)這一部分公式比較多，要強(qiáng)化記憶，屬于中檔題．