Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=|kx-1|（k∈R）．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集為$\left\{{x|-\frac{1}{3}≤x≤1}\right\}$，求k的值；
（Ⅱ）若f（1）+f（2）＜5，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用不等式的解集與方程解的關(guān)系，根據(jù)不等式f（x）≤2的解集為$\left\{{x|-\frac{1}{3}≤x≤1}\right\}$，即可求k的值；
（Ⅱ）若f（1）+f（2）＜5，則|k-1|+|2k-1|＜5，分類討論求k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵不等式f（x）≤2的解集為$\left\{{x|-\frac{1}{3}≤x≤1}\right\}$，
∴|-$\frac{1}{3}$k-1|=2且|k-1|=2，
∴k=3；
（Ⅱ）若f（1）+f（2）＜5，則|k-1|+|2k-1|＜5．
k＜$\frac{1}{2}$時，-k+1-2k+1＜5，∴k＞-1，∴-1＜k＜$\frac{1}{2}$；
$\frac{1}{2}$≤k≤1時，-k+1+2k-1＜5，∴k＜5，∴$\frac{1}{2}$≤k≤1；
k＞1時，k-1+2k-1＜5，∴k＜$\frac{7}{3}$，∴1＜k＜$\frac{7}{3}$，
綜上所述，-1＜k＜$\frac{7}{3}$．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．