Question

3．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP=1，M為PB的中點，N在BC上，且BN=$\frac{1}{3}$BC．
（1）求證：MN⊥AB；
（2）求平面MAN與平面PAN所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AB=AC=AP=1，求出BC=$\sqrt{3}$，推導(dǎo)出△NBA∽△ABC，取AB中點Q，推導(dǎo)出AB⊥平面MNQ，由此能證明AB⊥MN；
（2）過B作BD∥AC，交AN延長線于D，連PD，分別取PD、AD中點E、F，連ME，EF，MF，推導(dǎo)出∠EFM是所求兩面角的平面角．由此能求出平面MAN與平面PAN所成的銳二面角的余弦值．

解答 證明：（1）設(shè)AB=AC=AP=1，又∠BAC=120°，
∴在△ABC中，BC2=1+1-2×1×1×cos120°=3，
∴BC=$\sqrt{3}$，∴BN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BN}{AB}$，
又∠ABC=∠NBA，∴△NBA∽△ABC，
且△NBA也為等腰三角形．
取AB中點Q，連接MQ、NQ，∴NQ⊥AB，MQ∥PAQ，
∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AB，∴MQ⊥AB，
∴AB⊥平面MNQ，
又MN?平面MNQ，∴AB⊥MN；
（2）解：過B作BD∥AC，交AN延長線于D，連PD，分別取PD、AD中點E、F，連ME，EF，MF，
由CA⊥面PAD，BD∥AC∥ME，PA⊥AN，EF∥PA，則ME⊥面PAD，EF⊥AN，
且MF⊥AN，∴∠EFM是所求兩面角的平面角．
BD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$，ME=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{4}$，EF=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{1}{2}$，MF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴cos∠EFM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴平面MAN與平面PAN所成的銳二面角的余弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．