Question

7．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（${\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}}$）cos（${\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}}$）-sin（x+π）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）在[0，π]上的最小值；
（3）若f（α）=$\frac{8}{5}$，α∈（${\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}}$），求sin（2α+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性，求得f（x）的最小正周期．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）在[0，π]上的最小值．
（3）由條件求得sin（α+$\frac{π}{3}$）的值，可得cos（α+$\frac{π}{3}$）的值，再利用兩角差的正弦公式求得sin（2α+$\frac{π}{3}$）=sin[（2α+$\frac{2π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（${\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}}$）cos（${\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}}$）-sin（x+π）
=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{2}$）+sinx
=$\sqrt{3}$cosx+sinx
=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期為2π．
（2）將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，
得到函數(shù)g（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）的圖象，
在[0，π]上，x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
故當x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$時，函數(shù)g（x）取得最小值為2•（-$\frac{1}{2}$）=-1．
（3）若f（α）=2sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{8}{5}$，
∴sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，
∵α∈（${\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}}$），
∴α+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$），
∴cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+\frac{π}{3}）}$=-$\frac{3}{5}$，
sin（2α+$\frac{2π}{3}$）=2sin（α+$\frac{π}{3}$）cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{24}{25}$，
∴cos（2α+$\frac{2π}{3}$）=2${cos}^{2}（α+\frac{π}{3}）$-1=-$\frac{7}{25}$，
∴sin（2α+$\frac{π}{3}$）=sin[（2α+$\frac{2π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]
=sin（2α+$\frac{2π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$-cos（2α+$\frac{2π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$
=-$\frac{24}{25}•\frac{1}{2}$-（-$\frac{7}{25}$）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{7\sqrt{3}-24}{50}$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，兩角差的正弦公式的應用，屬于中檔題．