Question

5．已知曲線C₁：y=ax³-6x²+12x（a≠0）與曲線C₂：y=e^x．若曲線C₁有極值，則a的范圍是a＜1且a≠0；若曲線C₁和C₂在x=1處的兩條切線互相垂直，則實數a的值為-$\frac{1}{3e}$．．

Answer 1

分析 ①先求出函數的導數，結合一元二次方程的根的判別式，得到不等式，解出即可；
②分別求出兩個函數的導函數，求得兩函數在x=1處的導數值，由題意知兩導數值的乘積等于-1，由此求得a的值．

解答 解：①由y=ax³-6x²+12x，得y′=3ax²-12x+12，
若曲線C₁有極值，則3ax²-12x+12=0有兩個不相等的實數根，（a≠0），
∴△=144-4•3a•12＞0，解得：a＜1；
②由y=ax³-6x²+12x，得y′=3ax²-12x+12，
∴y′|_x=1=3a，
由y=e^x，得y′=e^x，
∴y′|_x=1=e．
∵曲線C₁：y=ax³-6x²+12x與曲線C₂：y=e^x在x=1處的切線互相垂直，
∴3a•e=-1，解得：a=-$\frac{1}{3e}$．
故答案為：a＜1且a≠0，-$\frac{1}{3e}$．

點評 本題考查利用導數研究曲線上某點處的切線方程，函數在某點處的導數，就是曲線在該點處的切線的斜率，同時考查兩直線垂直的條件，考查二次函數的性質，屬于中檔題．