Question

16．已知等差數(shù)列{a_n}，首項a₁＞0，a₂₀₁₁+a₂₀₁₂＞0，a₂₀₁₁•a₂₀₁₂＜0，則使數(shù)列{a_n}的前n項和S_n＞0成立的最大正整數(shù)n是（　　）

• A． 2011
• B． 2012
• C． 4023
• D． 4022

Answer 1

分析 由題意可得a₂₀₁₁＞0，a₂₀₁₂ ＜0，a₂₀₁₁＞|a₂₀₁₂|，判斷出數(shù)列的單調性和數(shù)列中項的正負，可得a₁+a₄₀₂₂=a₂₀₁₁+a₂₀₁₂＞0，a₁+a₄₀₂₃=a₂₀₁₁+a₂₀₁₃ =2a₂₀₁₂＜0，再由等差數(shù)列的前n項和公式可得S₄₀₂₂＞0，S₄₀₂₃＜0，由此得到結論．

解答 解：∵等差數(shù)列{a_n}中，a₁＞0，a₂₀₁₁+a₂₀₁₂＞0，a₂₀₁₁•a₂₀₁₂＜0，
∴a₂₀₁₁＞0，a₂₀₁₂ ＜0，a₂₀₁₁＞|a₂₀₁₂|，
即等差數(shù)列{a_n}首項是正數(shù)、公差小于零的遞減數(shù)列，
則前2011項大于零，從2012項起都小于零，
∴a₁+a₄₀₂₂=a₂₀₁₁+a₂₀₁₂＞0，a₁+a₄₀₂₃=a₂₀₁₁+a₂₀₁₃ =2a₂₀₁₂ ＜0，
∴S₄₀₂₂ =$\frac{4022（{a}_{1}+{a}_{4022}）}{2}$＞0，S₄₀₂₃ =$\frac{4023（{a}_{1}+{a}_{4023}）}{2}$＜0，
則使S_n＞0成立的n的最大值為4022，
故選：D．

點評 本題考查等差數(shù)列的性質，等差數(shù)列的單調性，以及等差數(shù)列的前n項和公式的靈活應用，屬于中檔題．