Question

19．已知A，B為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右支上兩點，O為坐標原點，若△OAB是邊長為c的等邊三角形，且c²=a²+b²，則雙曲線C的漸近線方程為y=±x．

Answer 1

分析 運用對稱性可得AB⊥x軸，求得A的坐標（$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，$\frac{c}{2}$），代入雙曲線的方程，由a，b，c的關系，化簡整理可得a=b，進而得到漸近線方程．

解答 解：由對稱性可得AB⊥x軸，
△OAB是邊長為c的等邊三角形，可得
|AB|=c，設A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，$\frac{c}{2}$），
代入雙曲線的方程可得，
$\frac{3{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{{c}^{2}}{4^{2}}$=1，由c²=a²+b²，
化簡可得，3b⁴-2a²b²-a⁴=0，
可得a=b，
即有漸近線方程為y=±x．
故答案為：y=±x．

點評 本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，注意運用對稱性判斷AB⊥x軸，由點滿足雙曲線的方程，考查運算能力，屬于中檔題．