Question

8．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=7，令b_n=a_n•a_n+1，{b_n}是公比為q（q＞0）的等比數(shù)列，設(shè)c_n=a_2n-1+a_2n．
（1）求證：${c_n}=8•{q^{n-1}}，n∈N*$；
（2）設(shè){c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求$\lim_{n→∞}\frac{1}{S_n}$的值；
（3）設(shè){c_n}前n項(xiàng)積為T(mén)_n，當(dāng)$q=\frac{1}{2}$時(shí)，求n為何值時(shí)，T_n取到最大值．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)b₁=a₁a₂=7可知b_n=7q^n-1，進(jìn)而可知數(shù)列{a_2n-1}、{a_2n}分別是首項(xiàng)為1、7，公比均為q的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知${c_n}=8•{q^{n-1}}，n∈N*$，分q是否為1兩種情況計(jì)算出前n項(xiàng)和公式，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（3）通過(guò)（1）、化簡(jiǎn)可知T_n=${2}^{\frac{-（n-\frac{7}{2}）^{2}+\frac{49}{4}}{2}}$，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 （1）證明：依題意，b₁=a₁a₂=7，則b_n=7q^n-1，
∵q=$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{{a}_{n+1}a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$，
∴數(shù)列{a_2n-1}、{a_2n}分別是首項(xiàng)為1、7，公比均為q的等比數(shù)列，
∴a_2n-1=q^n-1，a_2n=7q^n-1，
∴${c_n}=8•{q^{n-1}}，n∈N*$；
（2）解：由（1）可知${c_n}=8•{q^{n-1}}，n∈N*$，
當(dāng)q=1時(shí)，S_n=8n，此時(shí)$\lim_{n→∞}\frac{1}{S_n}$=0；
當(dāng)q≠1時(shí)，S_n=8•$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1-q}{8（1-{q}^{n}）}$，
此時(shí)當(dāng)0＜q＜1時(shí)，$\lim_{n→∞}\frac{1}{S_n}$=$\frac{1-q}{8}$；當(dāng)q＞1時(shí)，$\lim_{n→∞}\frac{1}{S_n}$=0；
綜上所述，$\lim_{n→∞}\frac{1}{S_n}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-q}{8}，}&{0＜q＜1}\\{0，}&{q≥1}\end{array}\right.$；
（3）解：由（1）可知T_n=8ⁿ•q^{0+1+2+…+（n-1）}=8ⁿ•${q}^{\frac{n（n-1）}{2}}$，
又∵$q=\frac{1}{2}$，
∴T_n=8ⁿ•${2}^{-\frac{n（n-1）}{2}}$=${2}^{3n-\frac{n（n-1）}{2}}$=${2}^{\frac{-（n-\frac{7}{2}）^{2}+\frac{49}{4}}{2}}$，
∴當(dāng)n=3或4時(shí)，T_n取到最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．