Question

【題目】鎮(zhèn)江市長(zhǎng)江路江邊春江潮廣場(chǎng)要設(shè)計(jì)一尊鼎型塑像（如圖1），塑像總高度為12米，塑像由兩部分組成，上半部分由四根垂直于水平地面的等高垂直立柱組成（立柱上凸起部分忽略不計(jì)），下半部分由正四棱臺(tái)的上底面四根水平橫柱和正四棱臺(tái)的四根側(cè)棱斜柱組成，如圖2所示．設(shè)計(jì)要求正棱臺(tái)的水平橫柱長(zhǎng)度為4米，下底面邊長(zhǎng)為8米，設(shè)斜柱與地面的所成的角為．

（1）用表示塑像上半部分立柱的高度，并求的取值范圍？

（2）若該塑像上半部分立柱的造價(jià)為千元/米（立柱上凸起部分忽略不計(jì)），下半部分橫柱和斜柱的造價(jià)都為2千元/米，問當(dāng)為何值時(shí)，塑像總造價(jià)最低？

Answer 1

【答案】（1）米，的范圍為．（2）當(dāng)時(shí)，塑像總造價(jià)最低．

【解析】

（1）在平面AEGC內(nèi)作，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面EFGH，為斜柱與地面所成的角，由即可求解.

（2）設(shè)總造價(jià)為y，則，利用導(dǎo)數(shù)即可求解.

解：（1）由正四棱臺(tái)的定義，平面平面EFGH，

在平面AEGC內(nèi)作，交EG于M，

平面平面，

則平面EFGH，

則為斜柱與地面所成的角，即．

顯然，A，M三點(diǎn)共線，

在等腰梯形AEGC中，，，

則，，立柱，

因?yàn)?/span>，所以．

答：塑像上半部分的高度米，的范圍為．

（2），設(shè)總造價(jià)為y，

則，

，

記，則，

令，則，所以，

列表：

		0
	減函數(shù)	1	增函數(shù)

所以當(dāng)時(shí)，有最小值．

答：當(dāng)時(shí)，塑像總造價(jià)最低．