Question

當

π

4

＜x＜

π

2

時，函數(shù)f(x)=

sin2x

2cosx(sinx-cosx)

的最小值是（　�。�

• A、2
• B、1
• C、

  1

  4

• D、

  1

  8

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：計算題,壓軸題,轉化思想

分析：通過x的范圍，求出cotx的范圍，化簡函數(shù)的表達式為cotx的表達式，通過換元，利用二次函數(shù)求出函數(shù)f（x）的最小值．

解答： 解：因為

π

4

＜x＜

π

2

，所以cotx∈（0，1），
函數(shù)f(x)=

sin2x

2cosx(sinx-cosx)

=

1

2cotx(1-cotx)

，
令cotx=t，t∈（0，1），
f(x)=

sin2x

2cosx(sinx-cosx)

化為y=

1

2t-2t2

，t∈（0，1），
對于2t-2t²≤

1

2

，當且僅當t=

1

2

∈（0，1）時取得最大值，
函數(shù)f(x)=

sin2x

2cosx(sinx-cosx)

的最小值為2．
故選A．

點評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的最值的求法，轉化思想的應用，二次函數(shù)的最值，考查計算能力．