Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中常數(shù)a＞0．
（Ⅰ）當(dāng)a＞2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點(diǎn)P（x0 ， h（x0））處的切線方程為l：y=g（x），若 ＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“類對(duì)稱點(diǎn)”．當(dāng)a=4時(shí)，試問y=f（x）是否存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，若存在，請(qǐng)至少求出一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∵ ，
∴
∵a＞2，∴ ，
令f′（x）＞0，即 ，
∵x＞0，∴0＜x＜1或 ，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），
（Ⅱ）解法一：當(dāng)a=4時(shí)，
所以在點(diǎn)P處的切線方程為
若函數(shù) 存在“類對(duì)稱點(diǎn)”P（x0 ， f（x0）），
則等價(jià)于當(dāng)0＜x＜x0時(shí)，f（x）＜g（x），
當(dāng)x＞x0時(shí)，f（x）＞g（x）恒成立．
① 當(dāng)0＜x＜x0時(shí)，f（x）＜g（x）恒成立，
等價(jià)于 恒成立，
即當(dāng)0＜x＜x0時(shí)， 恒成立，
令 ，則φ（x0）=0，…（7分）
要使φ（x0）＜0在0＜x＜x0恒成立，只要φ（x）在（0，x0）單調(diào)遞增即可．
又∵ ，
∴ ，即 ．
②當(dāng)x＞x0時(shí)，f（x）＞g（x）恒成立時(shí)， ．
∴ ．
所以y=f（x）存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，其中一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為 ．
（Ⅱ）解法二：
猜想y=f（x）存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，其中一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為 ．
下面加以證明：
當(dāng) 時(shí)，
① 當(dāng) 時(shí)，f（x）＜g（x）恒成立，
等價(jià)于 恒成立，
令
∵ ，∴函數(shù)φ（x）在 上單調(diào)遞增，
從而當(dāng) 時(shí)， 恒成立，
即當(dāng) 時(shí)，f（x）＜g（x）恒成立．
②同理當(dāng) 時(shí)，f（x）＞g（x）恒成立．
綜上知y=f（x）存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，其中一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）法一：a=4時(shí)，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到切線方程根據(jù)新定義問題等價(jià)于當(dāng)0＜x＜x0時(shí)，f（x）＜g（x），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出即可；
法二：猜想y=f（x）存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，其中一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為 ，然后加以證明即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．