Question

5．已知點F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，點A是雙曲線右支上一點，∠AF₂F₁=$\frac{2π}{3}$，且（$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$+$\overrightarrow{{F}_{2}A}$）•$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=0，則此雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），運用向量的數(shù)量積的性質(zhì)可得|$\overrightarrow{{F}_{2}A}$|=|$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$|=2c，在△AF₁F₂中，運用余弦定理可得|AF₁|=2$\sqrt{3}$c，再由雙曲線的定義和離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由（$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$+$\overrightarrow{{F}_{2}A}$）•$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=0，可得
（$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$+$\overrightarrow{{F}_{2}A}$）•（$\overrightarrow{{F}_{2}A}$-$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$）=0，
即有$\overrightarrow{{F}_{2}A}$²-$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$²=0，
即|$\overrightarrow{{F}_{2}A}$|=|$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$|=2c，
在△AF₁F₂中，∠AF₂F₁=$\frac{2π}{3}$，
可得|AF₁|=$\sqrt{4{c}^{2}+4{c}^{2}-2•2c•2c•（-\frac{1}{2}）}$=2$\sqrt{3}$c，
由雙曲線的定義可得|AF₁|-|AF₂|=2a，
即2$\sqrt{3}$c-2c=2a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用向量的數(shù)量積的性質(zhì)和雙曲線的定義，結(jié)合三角形的余弦定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．