Question

7．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直于底面，AB=$\sqrt{3}$，BC=1，AA₁=AC=2，E、F分別為A₁C₁、BC的中點(diǎn)．
（1）求證：平面ABE⊥平面B₁BCC₁；
（2）求證：C₁F∥平面ABE；
（3）求多面體A₁B₁C₁-ABF的體積．

Answer 1

分析 （1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥底面ABC，可得BB₁⊥AB，由于AB=$\sqrt{3}$，BC=1，AC=2，可得AB⊥BC，利用線面垂直的判定定理可得：AB⊥平面B₁BCC₁，即可證明平面ABE⊥平面B₁BCC₁；
（2）取AB的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，利用三角形中位線定理可得：FG∥AC，$FG=\frac{1}{2}AC$，于是$FG\underset{∥}{=}E{C}_{1}$，可得FGEC₁為平行四邊形，得到C₁F∥EG，即可證明C₁F∥平面ABE；
（3）利用多面體A₁B₁C₁-ABF的體積V=${V}_{{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}-ABC}$-${V}_{{C}_{1}-ACF}$即可得出．

解答 （1）證明：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥底面ABC，
∴BB₁⊥AB，
∵AB=$\sqrt{3}$，BC=1，AC=2，
∴AB⊥BC，
∵BC∩BB₁=B，∴AB⊥平面B₁BCC₁，
又AB?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面B₁BCC₁；
（2）證明：取AB的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，
∵E，F(xiàn)分別是A₁C₁，BC的中檔，
∴FG∥AC，$FG=\frac{1}{2}AC$，
∵$AC\underset{∥}{=}{A}_{1}{C}_{1}$，∴$FG\underset{∥}{=}E{C}_{1}$，
∴FGEC₁為平行四邊形，
∴C₁F∥EG，
又EG?平面ABE，C₁F?平面ABE，
∴C₁F∥平面ABE；
（3）解：多面體A₁B₁C₁-ABF的體積V=${V}_{{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}-ABC}$-${V}_{{C}_{1}-ACF}$=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評 本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系、平行四邊形的性質(zhì)、體積等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．