Question

8．已知函數(shù)f（x）=|x²-2x-3|，x∈R．
（1）直線y=m與y=f（x）的圖象從左到右依次有4個(gè)交點(diǎn)A、B、C、D，若線段AB、BC、CD能構(gòu)成三角形，求m的取值范圍；
（2）當(dāng)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇a，b]時(shí)，值域恰好為[$\frac{5}{3}$（a-1），$\frac{5}{3}$（b-1）]，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）首先畫出f（x）和y=m的圖象，根據(jù)圖象即可求得A，B，C，D四點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出|AB|，|CD|，|BC|，而若線段AB、BC、CD能構(gòu)成三角形只要滿足|AB|+|CD|＞|BC|即可，這樣便可求出m的范圍；
（2）結(jié)合圖形，對(duì)應(yīng)區(qū)間[a，b]的位置分成①[a，b]⊆（-∞，-1），（-1，1），（1，3），（3，+∞），②在[a，b]上取到最小值0，③在[a，b]上取到最大值f（1），這樣求出每種情況的a，b即可得到a，b的值．

解答 解：f（x）的圖象如下，

通過解方程|x²-2x-3|=m得到A，B，C，D四點(diǎn)的橫坐標(biāo)如下：
1-$\sqrt{4+m}$，$1-\sqrt{4-m}$，$1+\sqrt{4-m}，1+\sqrt{4+m}$；
∴$|AB|=|CD|=\sqrt{4+m}-\sqrt{4-m}$，$|BC|=2\sqrt{4-m}$；
要使AB，BC，CD能構(gòu)成三角形，只要|AB|+|CD|＞|BC|；
∴$2（\sqrt{4+m}-\sqrt{4-m}）＞2\sqrt{4-m}$；
∴$\sqrt{4+m}＞2\sqrt{4-m}$；
∴得到$\left\{\begin{array}{l}{4-m＞0}\\{4+m＞4（4-m）}\end{array}\right.$；
解得$\frac{12}{5}＜m＜4$；
∴m的取值范圍為（$\frac{12}{5}，4$）；
（2）①若[a，b]⊆（-∞，-1），f（x）在[a，b]上單調(diào)遞減；
∴f（x）的值域?yàn)閇f（b），f（a）]=[b²-2b-3，a²-2a-3]=[$\frac{5}{3}（a-1），\frac{5}{3}（b-1）$]；
∴$\left\{\begin{array}{l}{^{2}-2b-3=\frac{5}{3}（a-1）}\\{{a}^{2}-2a-3=\frac{5}{3}（b-1）}\end{array}\right.$；
兩式相減得$a+b=\frac{1}{3}$，∵此時(shí)a+b＜-2，所以這種情況不存在；
同樣的辦法可以判斷當(dāng)[a，b]⊆（-1，1），（1，3），（3，+∞）時(shí)也不存在；
②若f（x）在[a，b]上的最小值為0時(shí)；
則a=1，則b≥3；
若此時(shí)f（x）的最大值為f（1）=4=$\frac{5}{3}（b-1）$，則b=$\frac{17}{5}＞3$，符合條件；
若此時(shí)f（x）的最大值為f（b）=$^{2}-2b-3=\frac{5}{3}（b-1）$，解得b=4，或b=$-\frac{1}{3}$（舍去），b=4符合條件；
∴在這種情況下a=1，b=$\frac{17}{5}，或4$；
③若f（x）在[a，b]上的最大值為f（1）=4=$\frac{5}{3}（b-1）$，b=$\frac{17}{5}$，則此時(shí)最小值一定是0=$\frac{5}{3}（a-1）$，a=1；
∴綜上得a=1，b=$\frac{17}{5}$，或4．

點(diǎn)評(píng) 考查直線y=b和曲線f（x）交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和方程f（x）=b解的關(guān)系，求根公式求一元二次方程的根，三條線段構(gòu)成三角形的條件：兩邊之和大于第三邊，分類討論的方法，以及結(jié)合圖形解題的方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域．