Question

2．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2．AA₁=3，點E為BB₁中點，
（1）求證：平面A₁CE⊥側(cè)面AC₁，
（2）求點B₁到面A₁EC的距離．

Answer 1

分析 （1）延長CE交C₁B₁的延長線交于D，連結(jié)A₁D，證明DA₁⊥A₁C₁，即可證明平面A₁CE⊥側(cè)面AC₁，
（2）根據(jù)點到平面的距離的定義作出B₁M，即可求點B₁到面A₁EC的距離．

解答 （1）證明：延長CE交C₁B₁的延長線交于D，
連結(jié)A₁D，
∵E為BB₁中點，
∴B₁為DC₁中點，
∵△AB₁C₁是正三角形，
∴△DA₁C₁是直角三角形，
即DA₁⊥A₁C₁，
∵DA₁⊥AA₁
∴DA₁⊥側(cè)面AC₁，
∵DA₁?平面A₁CE，
∴平面A₁CE⊥側(cè)面AC₁．
（2）過B₁作B₁F⊥A₁D，
則F是A₁D的中點，
連結(jié)EF，
則平面B₁EF⊥面DEA₁．
過B₁作B₁M⊥EF，
則B₁M就是點B₁到面A₁EC的距離．
∵AB=2．AA₁=3，
∴B₁F=1，B₁E=$\frac{3}{2}$，
EF=$\sqrt{{B}_{1}{E}^{2}+{B}_{1}{F}^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{13}{4}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
則三角形B₁EF中，B₁M•EF=B₁F•B₁E，
即B₁M=$\frac{{B}_{1}F•{B}_{1}E}{EF}=\frac{1×\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{13}}{2}}=\frac{3\sqrt{13}}{3}$，
即點B₁到面A₁EC的距離是$\frac{3\sqrt{13}}{3}$．

點評 本題主要考查面面垂直的判斷以及點到平面的距離的計算，根據(jù)面面垂直的判定定理以及點到平面的距離求法是解決本題的關(guān)鍵．