Question

12．設(shè)f（x）=|x+2|+|2x-1|-m．
（I）當m=5時，解不等式f（x）≥0；
（Ⅱ）若f（x）≥$\frac{3}{2}$對于x∈R恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）當m=5時，運用去絕對值的方法，討論當x≥$\frac{1}{2}$時，當x≤-2時，當-2＜x＜$\frac{1}{2}$時，分別解不等式，最后求并集，即可得到所求解集；
（Ⅱ）由題意可得|x+2|+|2x-1|≥m+$\frac{3}{2}$恒成立，運用分類討論的思想求得|x+2|+|2x-1|的最小值，即可得到m的范圍．

解答 解：（I）當m=5時，不等式f（x）≥0，即為
|x+2|+|2x-1|≥5，
當x≥$\frac{1}{2}$時，不等式即為x+2+2x-1≥5，
即有x≥$\frac{4}{3}$；
當x≤-2時，不等式即為-x-2+1-2x≥5，
即有x≤-2；
當-2＜x＜$\frac{1}{2}$時，不等式即為x+2+1-2x≥5，
即有x≤-2，則x∈∅．
綜上可得原不等式的解集為{x|x≤-2或x≥$\frac{4}{3}$}；
（Ⅱ）f（x）≥$\frac{3}{2}$對于x∈R恒成立，
即有|x+2|+|2x-1|≥m+$\frac{3}{2}$恒成立，
當x≥$\frac{1}{2}$時，|x+2|+|2x-1|=x+2+2x-1=3x+1≥$\frac{5}{2}$；
當x≤-2時，|x+2|+|2x-1|=-x-2+1-2x=-1-3x≥5；
當-2＜x＜$\frac{1}{2}$時，|x+2|+|2x-1|=x+2+1-2x=3-x∈（$\frac{5}{2}$，5）．
則|x+2|+|2x-1|的最小值為$\frac{5}{2}$，
即有m+$\frac{3}{2}$≤$\frac{5}{2}$，即為m≤1．
則m的取值范圍是（-∞，1]．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，注意運用分類討論，考查不等式恒成立問題的解法，運用參數(shù)分離和含絕對值函數(shù)最值的求法，屬于中檔題．