Question

7．已知集合A={x|y=$\sqrt{-{x}^{2}+5x-6}$}，函數(shù)g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x（x≥-2）的值域?yàn)锽．
（1）求（∁_RA）∩B；
（2）若C={x|a＜x≤2a-2}，且A∩C=C，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求解函數(shù)的定義域及值域化簡(jiǎn)集合A，B．
（1）直接由補(bǔ)集及交集運(yùn)算得答案；
（2）由A∩C=C，得C⊆A，然后分C=∅和C≠∅列式計(jì)算實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由-x²+5x-6≥0，得2≤x≤3，
∴A={x|y=$\sqrt{-{x}^{2}+5x-6}$}=[2，3]，
當(dāng)x≥-2時(shí)，0$＜（\frac{1}{2}）^{x}≤4$，
∴B=（0，4]．
（1）由A=[2，3]，得∁_RA=（-∞，2）∪（3，+∞），又B=（0，4]，
∴（∁_RA）∩B=（0，2）∪（3，4]；
（2）由A∩C=C，得C⊆A，
當(dāng)a≥2a-2，即a≤2時(shí)，C=∅，滿足C⊆A；
當(dāng)a＞2時(shí)，要使C⊆A，則$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{2a-2≤3}\end{array}\right.$，∴2$＜a≤\frac{5}{2}$．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{5}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，考查了函數(shù)的定義域及值域的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．