【題目】已知定義在上的函數(shù),其中,e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求證:有且只有一個極小值點;
(2)若不等式在上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)知,遞增,由和,根據(jù)零點存在定理則可證.
(2)由探求出,轉(zhuǎn)化為證明當,在上恒成立,令
進一步轉(zhuǎn)化為,再證明該不等式右邊恒大于等于0即可.
(1)證明:由于,,
則在上單調(diào)遞增.
令,則,
故當時,,單調(diào)遞減;
當時,,單調(diào)遞增;
則,即.
由于,,
故,使得,且當時,,單調(diào)遞減;
當時,,單調(diào)遞增;
因此在有且只有一個極小值點,無極大值點.
(2)解:由于不等式在上恒成立,
(i)必要性,當時,不等式成立,即,
令,,
由于,則在上單調(diào)遞增,
又由于,則的解為,
(ii)充分性,下面證明當時,在上恒成立,
令,
由于,,,
,
則,
令,則,
故,在上單調(diào)遞增.
由于,則當時,,單調(diào)遞減;
當時,,單調(diào)遞增;
故,即恒成立,
因此,當時,在上恒成立.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(是自然對數(shù)的底數(shù),).
(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點,且恒成立,求滿足條件的的最小值(極值點是指函數(shù)取極值時對應的自變量的值).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】新冠肺炎疫情造成醫(yī)用防護服緊缺,當?shù)卣疀Q定為防護服生產(chǎn)企業(yè)A公司擴大生產(chǎn)提供(萬元)的專項補貼,并以每套80元的價格收購其生產(chǎn)的全部防護服.A公司在收到政府x(萬元)補貼后,防護服產(chǎn)量將增加到(萬件),其中k為工廠工人的復工率,A公司生產(chǎn)t萬件防護服還需投入成本(萬元).
(1)將A公司生產(chǎn)防護服的利潤y(萬元)表示為補貼x(萬元)的函數(shù);
(2)對任意的(萬元),當復工率k達到多少時,A公司才能不產(chǎn)生虧損?(精確到0.01)
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【題目】已知橢圓C:1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,橢圓的焦距為2c,過C外一點P(c,2c)作線段PF1,PF2分別交橢圓C于點A、B,若|PA|=|AF1|,則_____.
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【題目】已知A是拋物線E:y2=2px(p>0)上的一點,以點A和點B(2,0)為直徑兩端點的圓C交直線x=1于M,N兩點.
(1)若|MN|=2,求拋物線E的方程;
(2)若0<p<1,拋物線E與圓(x﹣5)2+y2=9在x軸上方的交點為P,Q,點G為PQ的中點,O為坐標原點,求直線OG斜率的取值范圍.
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【題目】根據(jù)以往統(tǒng)計資料,某地車主購買甲種保險的概率為0.5,購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3.設各車主購買保險相互獨立.
(1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率;
(2)X表示該地的100位車主中,甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù),求X的均值和方差.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的最大值;
(2)令,討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若,正實數(shù)滿足,證明:
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【題目】瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標系中作,中,,點,點,且其“歐拉線”與圓相切,則該圓的直徑為( )
A.1B.C.2D.
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【題目】某市教育與環(huán)保部門聯(lián)合組織該市中學參加市中學生環(huán)保知識團體競賽,根據(jù)比賽規(guī)則,某中學選拔出8名同學組成參賽隊,其中初中學部選出的3名同學有2名女生;高中學部選出的5名同學有3名女生,競賽組委會將從這8名同學中隨機選出4人參加比賽.
(Ⅰ)設“選出的4人中恰有2名女生,而且這2名女生來自同一個學部”為事件,求事件的概率;
(Ⅱ)設為選出的4人中女生的人數(shù),求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.
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