Question

已知曲線C₁的參數(shù)方程是

x=2cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程是ρ=2sinθ．
（1）寫出C₁的極坐標(biāo)方程和C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）已知點(diǎn)M₁、M₂的極坐標(biāo)分別為(1，

π

2

)和（2，0），直線M₁M₂與曲線C₂相交于P，Q兩點(diǎn)，射線OP與曲線C₁相交于點(diǎn)A，射線OQ與曲線C₁相交于點(diǎn)B，求

1

|OA|2

+

1

|OB|2

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：

分析：（1）利用cos²θ+sin²θ=1，即可曲線C₁的參數(shù)方程化為普通方程，進(jìn)而利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可化為極坐標(biāo)方程，同理可得曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）由點(diǎn)M₁、M₂的極坐標(biāo)可得直角坐標(biāo)：M₁（0，1），M₂（2，0），可得直線M₁M₂的方程為

x

2

+y=1，此直線經(jīng)過(guò)圓心，可得線段PQ是圓x²+（y-1）²=1的一條直徑，可得得OA⊥OB，A，B是橢圓

x2

4

+y2=1上的兩點(diǎn)，在極坐標(biāo)下，設(shè)A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ+

π

2

)，代入橢圓的方程即可證明．

解答： 解：（1）曲線C₁的普通方程為

x2

4

+y2=1，
化成極坐標(biāo)方程為

ρ2cos2θ

4

+ρ2sin2θ=1，
曲線C₂的極坐標(biāo)方程是ρ=2sinθ，化為ρ²=2ρsinθ，
可得：曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2x，配方為x²+（y-1）²=1．
（2）由點(diǎn)M₁、M₂的極坐標(biāo)分別為(1，

π

2

)和（2，0），
可得直角坐標(biāo)：M₁（0，1），M₂（2，0），
∴直線M₁M₂的方程為

x

2

+y=1，化為x+2y-2=0，
∵此直線經(jīng)過(guò)圓心（0，1），
∴線段PQ是圓x²+（y-1）²=1的一條直徑，
∴∠POQ=90°，
由OP⊥OQ得OA⊥OB，
A，B是橢圓

x2

4

+y2=1上的兩點(diǎn)，
在極坐標(biāo)下，設(shè)A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ+

π

2

)，
分別代入

ρ2cos2θ

4

+ρ2sin2θ=1中，
有

ρ12cos2θ

4

+ρ12sin2θ=1和

ρ22cos2(θ+ π 2 )

4

+ρ22sin2(θ+

π

2

)=1，
∴

1

ρ12

=

cos2θ

4

+sin2θ，

1

ρ22

=

sin2θ

4

+cos2θ，
則

1

ρ12

+

1

ρ22

=

5

4

，即

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、圓的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．