Question

4．已知P是等腰直角△ABC的斜邊BC上的動點，|$\overrightarrow{AB}$|=2，則$\overrightarrow{AP}$•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=4．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，把$\overrightarrow{AP}$用$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$表示，展開后得答案．

解答 解：如圖，

∵|$\overrightarrow{AB}$|=$|\overrightarrow{AC}|$=2，
∴$\overrightarrow{AP}$•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}）•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$（\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{BC}）•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$
=$[λ\overrightarrow{AC}+（1-λ）\overrightarrow{AB}]•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$λ\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+λ{(lán)\overrightarrow{AC}}^{2}+（1-λ）{\overrightarrow{AB}}^{2}+（1-λ）\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$
=4λ+4-4λ=4．
故答案為：4．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量垂直的性質(zhì)，屬于中檔題．