Question

已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：A（1，0），B（1，4），C（3，2），直線l經(jīng)過點(diǎn)（0，4）．
（1）求△ABC外接圓⊙M的方程；
（2）若直線l與⊙M相切，求直線l的方程；
（3）若直線l與⊙M相交于A，B兩點(diǎn)，且AB=2

3

，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用,圓的一般方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）確定△ACB是等腰直角三角形，因而△ACB圓心為（1，2），半徑為2，即可求△ABC外接圓⊙M的方程；
（2）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，顯然不合題意，因而直線l的斜率存在，設(shè)l：y=kx+4，由題意知

|k-2+4|

k2+1

=2，求出k，即可求直線l的方程；
（3）分類討論，利用勾股定理，可得直線l的方程．

解答： 解：（1）∵A（1，0），B（1，4），C（3，2），
∴

CA

=（-2，-2），

CB

=（-2，2），
∴

CA

•

CB

=0，|

CA

|=|

CB

|，則△ACB是等腰直角三角形，
因而△ACB圓心為（1，2），半徑為2，∴⊙M的方程為（x-1）²+（y-2）²=4．
（2）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，顯然不合題意，因而直線l的斜率存在，設(shè)l：y=kx+4，
由題意知

|k-2+4|

k2+1

=2，解得k=0或k=

4

3

，…（8分）
故直線l的方程為y=4或4x-3y+12=0．…（10分）
（3）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，l方程為x=0，它截⊙M得弦長恰為2

3

；…（12分）
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+4，
∵圓心到直線y=kx+4的距離

|k+2|

k2+1

，
由勾股定理得(

|k+2|

k2+1

)2+(

2 3

2

)2=4，解得k=-

3

4

，…（14分）
故直線l的方程為x=0或3x+4y-16=0．  …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，考查直線、圓的方程，考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題．