Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），經(jīng)過F與B（0，b）的直線與圓x2+y2=

3

4

相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)F的直線l交橢圓于M、N兩點(diǎn)，求

FM

•

FN

的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,圓的切線方程,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）經(jīng)過F與B（0，b）的直線方程為x+

y

b

=1，利用經(jīng)過F與B（0，b）的直線與圓x2+y2=

3

4

相切，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，求出b再求出a，即可得到橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，消y并整理，利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合韋達(dá)定理表示出

FM

•

FN

，化簡可求最值．

解答： 解：（1）經(jīng)過F與B（0，b）的直線方程為x+

y

b

=1．
∵經(jīng)過F與B（0，b）的直線與圓x2+y2=

3

4

相切，
∴圓心到直線的距離d=

1

1+ 1 b2

=

3

2

，
∴b=

3

，
∵c=1，
∴a=

b2+c2

=2，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，消y并整理得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8k2

4k2+3

，x₁x₂=

4k2-12

4k2+3

，
△=（-8k²）²-4（4k²+3）（4k²-12）＞0恒成立．

FM

•

FN

=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=（1+k²）[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]
=（1+k²）（

4k2-12

4k2+3

-

8k2

4k2+3

+1）=

-9(1+k2)

4k2+3

，
令1+k²=t（t≥1），則

FM

•

FN

=

9t

1-4t

=

9

1 t -4

，
∵t≥1，∴-4＜

1

t

-4≤-3，
∴-3≤

FM

•

FN

＜-

3

4

即

FM

•

FN

的最小值為-3．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題．