Question

對于函數(shù)f（x），若存在實數(shù)對（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b對定義域中的每一個x都成立，則稱函數(shù)f（x）是“（a，b）型函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f₁（x）=x是否為“（a，b）型函數(shù)”，并說明理由；
（2）若函數(shù)f₂（x）=tanx是“（a，b）型函數(shù)”，求滿足條件的實數(shù)對（a，b）所組成的集合；
（3）已知函數(shù)g（x）是“（a，b）型函數(shù)”，對應(yīng)的實數(shù)對（a，b）為（1，4）．當x∈[0，1]時，g（x）=x²+m（x-1）+1（m＞0），若當x∈[0，2]時，都有1≤g（x）≤4，試求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（x）是“（a，b）型函數(shù)”的定義，判斷f₁（x）=x中是否存在實數(shù)對（a，b），使得等式f（a+x）•f（a-x）=b對定義域中的每一個x都成立，即可得到答案；
（2）根據(jù)函數(shù)f₂（x）=tanx是“（a，b）型函數(shù)”，即可得到f（a+x）•f（a-x）=b對定義域中的每一個x都成立，即可得到答案；
（3）根據(jù)函數(shù)g（x）是“（a，b）型函數(shù)”，對應(yīng)的實數(shù)對（a，b）為（1，4），根據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進行分類討論，分別求出g（x）在[0，1]和[0，2]上的值域，列出不等式組，求解即可得到m的取值范圍．

解答： 解：（1）f₁（x）=x不是“（a，b）型函數(shù)”，
∵f₁（x）=x，
∴f₁（a+x）=a+x，f₁（a-x）=a-x，
∴f₁（a+x）•f₁（a-x）=（a+x）（a-x）=b，
即a²-x²=b，
∴不存在實數(shù)對（a，b）使得a²-x²=b對定義域中的每一個x都成立，
∴f₁（x）=x不是“（a，b）型函數(shù)”；
（2）∵函數(shù)f₂（x）=tanx是“（a，b）型函數(shù)”，
∴tan（a+x）tan（a-x）=b．
即

tan?a+tan?x

1-tan?atan?x

?

tan?a-tan?x

1+tan?atan?x

=

tan?2a-tan?2x

1-tan?2atan?2x

，
∴當tan²a=1，即tana=±1時，

tan?a+tan?x

1-tan?atan?x

?

tan?a-tan?x

1+tan?atan?x

=

tan?2a-tan?2x

1-tan?2atan?2x

=1=b，
此時a=±

π

4

+kπ，b=1，
∴滿足條件的實數(shù)對（a，b）所組成的集合（±

π

4

+kπ，1），k∈Z．
（3）∵函數(shù)g（x）是“（a，b）型函數(shù)”，對應(yīng)的實數(shù)對（a，b）為（1，4），
∴g（1+x）g（1-x）=4，
∴當x∈[1，2]時，g(x)=

4

g(2-x)

，其中2-x∈[0，1]，
又∵x∈[0，1]時，g（x）=x²+m（1-x）+1=x²-mx+m+1，其對稱軸方程為x=

m

2

，
①當

m

2

＞1，即m＞2時，g（x）在[0，1]上的值域為[g（1），g（0）]，即[2，m+1]，
∴g（x）在[0，2]上的值域為[2，m+1]∪[

4

m+1

，2]=[

4

m+1

，m+1]，
由題意，得

m+1≤4 4 m+1 ≥1

，∴2＜m≤3；
②當

1

2

≤

m

2

≤1，即1≤m≤2時，g（x）的值域為[g（

m

2

），g（0）]，
即[m+1-

m2

4

，m+1]∪[

4

m+1

，

4

m+1- m2 4

]，
由題意，得

4 m+1- m2 4 ≤4 m+1≤4

且

m+1- m2 4 ≥1 4 m+1 ≥1

，解得1≤m≤2；
③當0＜

m

2

≤

1

2

，即0＜m≤1時，g（x）的值域為[g（

m

2

），g（1）]，
即[m+1-

m2

4

，2]，
∴g（x）在[0，2]上的值域為[m+1-

m2

4

，2]∪[2，

4

m+1- m2 4

]=[m+1-

m2

4

，

4

m+1- m2 4

]，
由題意，得

m+1- m2 4 ≥1 4 m+1- m2 4 ≤4

，解得0＜m≤1．
綜合①②③，所求m的取值范圍是0＜m≤3．

點評：本題考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用．函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．函數(shù)的零點等價于對應(yīng)方程的根，等價于函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標，解題時要注意根據(jù)題意合理的選擇轉(zhuǎn)化．解題的關(guān)鍵是將方程問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的問題進行求解．難度較大．