7.已知點(diǎn)F是拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),一點(diǎn)M(0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)滿足線段MF的中點(diǎn)在拋物線C上.
(1)求拋物線C的方程;
(2)若直線MF與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn),求線段AB的長.

分析 (1)求出拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),得到線段MF的中點(diǎn)坐標(biāo),利用中點(diǎn)在拋物線C上列出方程即可求解拋物線C的方程.
(2)求出直線MF的方程,與y2=x聯(lián)立消去y得,求出AB坐標(biāo),即可求解距離.

解答 解:(1)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為$F({\frac{p}{2},\;0})$…(1分)
∴線段MF的中點(diǎn)為$({\frac{p}{4},\;\frac{{\sqrt{2}}}{4}})$…(3分)
∵線段MF的中點(diǎn)在拋物線C上,∴${({\frac{{\sqrt{2}}}{4}})^2}=2p×\frac{p}{4}$,∵p>0,∴$p=\frac{1}{2}$…(5分)
∴拋物線C的方程為y2=x…(6分)
(2)直線MF的方程為$\frac{x}{{\frac{1}{4}}}+\frac{y}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=1$,即$4x+\sqrt{2}y-1=0$,…(8分)
與y2=x聯(lián)立消去y得,16x2-10x+1=0…(9分)
解得$x=\frac{1}{2}$或$x=\frac{1}{8}$,…(10分)
當(dāng)$x=\frac{1}{2}$時,$y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$;當(dāng)$x=\frac{1}{8}$時,$y=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$,
∴$A({\frac{1}{2},\;-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}),\;B({\frac{1}{8},\;\frac{{\sqrt{2}}}{4}})$或$B({\frac{1}{2},\;-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}),\;A({\frac{1}{8},\;\frac{{\sqrt{2}}}{4}})$
∴$|AB|=\sqrt{{{({\frac{1}{2}-\frac{1}{8}})}^2}+{{({-\frac{{\sqrt{2}}}{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{4}})}^2}}=\frac{9}{8}$…(12分)

點(diǎn)評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力.

練習(xí)冊系列答案
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X1.02.03.04.05.06.0
y1.034.5710.4121.7532.0043.21
A.y=log2xB.y=2xC.y=x2+2x-3D.y=2x-3

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2.有下列命題:
①設(shè)集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},則“a∈M”的充分而不必要條件是“a∈N”;
②命題“若a∈M,則b∉M”的逆否命題是“若b∈M,則a∉M”;
③若p∧q是假命題,則p,q都是假命題;
④命題P:“?x0∈R,x02-x0-1>0”的否定¬P:“?x∈R,x2-x-1≤0”
則上述命題中為真命題的是( 。
A.①②④B.①③④C.②④D.②③

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A.$\frac{4}{\sqrt{5}}$B.$\sqrt{5}$+1C.$\sqrt{5}$-1D.以上答案都不對

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19.已知數(shù)列1,a1,a2,a3,9是等差數(shù)列,數(shù)列-9,b1,b2,b3,-1是等比數(shù)列,則$\frac{_{2}}{{a}_{1}+{a}_{3}}$的值為-$\frac{3}{10}$.

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A7.99.08.37.88.48.99.48.38.58.5
B8.29.58.17.59.28.59.08.58.08.5
(Ⅰ)畫出A、B兩種產(chǎn)品數(shù)據(jù)的莖葉圖;若要從A、B中選一種型號產(chǎn)品投入生產(chǎn),從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度考慮,你認(rèn)為生產(chǎn)哪種型號產(chǎn)品合適?簡單說明理由;
(Ⅱ)若將頻率視為概率,對產(chǎn)品A今后的三次檢測數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測,記這三次數(shù)據(jù)中不低于8.5 的次數(shù)為ξ,求ξ的分布列及期望Eξ.

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