Question

12．已知|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=3，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為120°．
（1）求（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$）的值；
（2）當實數(shù)x為何值時，x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$垂直．

Answer 1

分析 （1）運用向量的數(shù)量積的定義可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，再由向量的平方即為模的平方，計算即可得到所求值．
（2）令（x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$）=0，列方程解出x．

解答 解：（1）由題意知：$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cos120°=-3，$\overrightarrow{a}$²=|$\overrightarrow{a}$|²=4，$\overrightarrow$²=|$\overrightarrow$|²=9，
∴（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$）=2$\overrightarrow{a}$²+5$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-3$\overrightarrow$²=8-15-27=-34． …（5分）
（2）∵（x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$）=x$\overrightarrow{a}$²+（3x-1）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-3$\overrightarrow$²=4x-3（3x-1）-27=-5x-24，
又∵x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$垂直，
∴-5x-24=0，
∴解得：x=-$\frac{24}{5}$．…（10分）

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，向量垂直與數(shù)量積的關系，考查運算能力，屬于基礎題．