Question

17．函數y=cosx•sin2x的最小值為-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$．

Answer 1

分析 首先利用倍角公式展開，化余弦為正弦，然后換元，再利用導數求得最值．

解答 解：y=cosx•sin2x=2sinx•cos²x=2sinx（1-sin²x）=-2sin³x+2sinx．
令t=sinx（-1≤t≤1）．
∴原函數化為g（t）=-2t³+2t（-1≤t≤1）．
g′（t）=-6t²+2=-2（3t²-1），
∴當t∈[-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），（$\frac{\sqrt{3}}{3}，1$]時，g′（t）＜0，
當t∈（$-\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$）時，g′（t）＞0，
∴g（t）在[-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），（$\frac{\sqrt{3}}{3}，1$]上為減函數，在（$-\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$）上為增函數，
∵g（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，g（1）=0．
∴g（t）的最小值為-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，即y=cosx•sin2x的最小值為-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，
故答案為：-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$．

點評 本題考查三角函數的最值，正確換元是解答該題的關鍵，訓練了利用導數求解函數的最值，屬中檔題．